“啊？还有什么？”
陈正平和孙婧同时一愣，满脸困惑。
一个因为想得太深而迷茫，一个因为听得太玄而茫然。
韩至渊也放下了茶杯，镜片后的目光落在林允宁身上，饶有兴致。
这里没有老师和学生，只有两个在未知领域边缘对弈的棋手。
“常规的反演，是数学游戏，缺少条件，当然会一团乱麻。”
林允宁没有卖关子，拿起一支黑色马克笔，在白板中央画了一个从“实验数据”指向“Σ(ω)”的粗箭头。
“但我们做的是物理，物理系统，有其内在的法则和‘规矩’。我们手里，有三张王牌，可以约束求解路径和最终结果。”
他懒洋洋地笑了笑，脸上却充满了少年人的自信，像一个即将展示最终底牌的魔术师，拿起另一支红色的马克笔，在箭头的上下两侧，画下了两条至关重要的约束路径。
“第一张牌，是因果律约束。
“自能的实部和虚部，不是互相独立的变量。它们被克拉默-克若尼关系（Kramers–Kronig relations，K-K关系）死死地锁在一起，这意味着，只要我们知道了其中一个，另一个的形态就已经被物理规律唯一确定。
“加入这一条约束，差不多直接砍掉了一半的解空间，大幅提高了数值解的稳定性。”
陈正平的瞳孔猛地一缩。
K-K关系！
对啊！
这个最底层的因果律约束，自己怎么就没想到！
他下意识拿起笔，在笔记本上画了一个复平面上的积分回路，想记下点什么灵感，笔尖却悬在纸上，一个字也写不出来。
妈的，还是没思路。
还没等他回过神，林允宁又画下了第二条路径。
“第二，物理先验约束。
“我们知道这个过程耗散必须非负，也就是Im(Σ)不能为正；而且，自能函数在高频和低频极限下的行为，也必须符合已知的物理规律，比如德拜模型和声学求和规则。这些都是我们已知的‘先验知识’。
“有了这些额外的边界信息和约束条件，我们就能将求解的范围，从一片汪洋大海，缩小到一个小小的池塘里。”
话音落下，整个办公室安静得只剩下中央空调的出风声。
韩至渊手中那支万宝龙钢笔的笔帽，不知何时已经停止了在桌面上的轻敲。
“等等！”
孙婧终于找到了插话的机会，她的问题更尖锐，也更实际。
她敲了敲桌上的光谱图，一针见血：
“就算有这两条约束，仪器响应函数（IRF）的影响你怎么消除？
“我们测到的光谱，是真实信号和IRF卷积后的结果。直接反演，等于对一个带噪声的卷积方程求解，只会把噪声无限放大，得到一堆没有物理意义的伪峰！”
这，才是实验物理学家在无数个不眠之夜中，真正会面对的噩梦。
听到这个问题。
林允宁非但没有紧张，手中的马克笔反而轻松地在指尖转了一圈，然后在白板上画上了第三张，也是最关键的一张王牌。
“孙师姐，我们为什么要执着于反卷积呢？跟仪器死磕，那肯定是条死胡同。”
他看向孙婧，露出了一个迷死人不偿命的笑容，“我们不去消除误差，我们理解误差。
“第三张王牌，就是正向拟合。
“我们用求解到的谱函数，去和我们已知的IRF做卷积，然后用这个卷积后的理论结果，去拟合我们测到的、最原始的、失真的实验数据。
“这样，我们拟合的，不再是信号，而是‘信号通过这台有缺陷的仪器后，应该是什么样子’。”
他摊了摊手，一脸的理所当然。
这番话，如同平地惊雷，让孙婧彻底呆住了。
她感觉自己多年建立起来的实验物理三观，正在被对方这种天马行空的逻辑剧烈地冲击着。
在她身边，陈正平的眼睛却猛地亮了起来，呼吸都变得有些急促。
他死死盯着白板，只见上面没有一个长公式，只有三条逻辑闭环的箭头。
如同三枚精准的图钉，将那个原本飘忽不定的反演问题，死死地钉在了一个极小的的解空间里！
他终于明白了林允宁想做什么！
“你的意思是……用一套带物理约束的迭代算法，直接从我们测到的，包含了所有仪器误差和噪声的光谱里，把最底层的‘声子自能’给硬生生构造出来？！”
“不是‘构造’，”
林允宁放下笔，纠正道，“自能函数作为物理实在，它本来就在那儿，不会因为我们算不出来，它就不存在。
“所以，问题不是‘构造’，而是用‘反演’来‘观测’——用一种更聪明的办法，透过噪声的迷雾，直接看到它。”
他的目光，最后落在韩至渊身上，进行了最后的总结。
“想要得到同时描述‘线宽’和‘频移’的自能函数，常规方法是正向推导，从原因到结果。现在咱们反过来，给他来个‘定果求因’——直接把声子自能Σ这个‘黑箱’的盖子掀开，把它抓在手上。
“到那时候，我们就可以用这个统一的理论框架，来讨论它里面到底藏着非谐效应、缺陷散射还是电声子耦合。那才是在用同一种语言说话。”
话音落下，他打了个哈欠，长长吐出一口浊气。
好像说了这么长的一段话，让他有些精疲力尽似的。
屋里安静了几秒，只有窗外传来几声模糊的鸟鸣。
“物理图像……很完美，不过算法呢？”
这次，轮到了韩至渊发问。
他一针见血地指出了从图像到现实的最后一道障碍，“想要解决这个问题，要有合适的算法和工具。
“但据我所知，现有的软件包，都解不了你这个带复杂物理约束的反演问题。这个世界上，还没有人写过这样的‘反演翻译器’……”
“那就从我们这里开始写！”
林允宁的回答云淡风轻，仿佛在说一件微不足道的小事，“求解器用用投影梯度算法（POCS），保证每次迭代都在‘因果一致’这个圈里，外层套一个带界约束的拟牛顿法（L-BFGS-B）处理非负约束。
“至于Σ本身，我们也不需要知道它的精确解析式，更不需要用复杂的函数去猜。我们可以用非负样条函数或者有理函数来参数化，把求解一个无限维的函数问题，简化成求解几十个参数的优化问题。这样可以最大限度地减少数值病态。”
他看了一眼已经彻底呆滞的陈正平和孙婧，干脆直接又扔下一颗“重磅炸弹”：
“我已经用Python写了个原型，在您借我那台X40笔记本电脑上试过了。用这种方法，即使是老奔腾处理器，也能在半个小时以内收敛。”
“你……你说啥？”
……
陈正平和孙婧同时一愣，满脸困惑。
一个因为想得太深而迷茫，一个因为听得太玄而茫然。
韩至渊也放下了茶杯，镜片后的目光落在林允宁身上，饶有兴致。
这里没有老师和学生，只有两个在未知领域边缘对弈的棋手。
“常规的反演，是数学游戏，缺少条件，当然会一团乱麻。”
林允宁没有卖关子，拿起一支黑色马克笔，在白板中央画了一个从“实验数据”指向“Σ(ω)”的粗箭头。
“但我们做的是物理，物理系统，有其内在的法则和‘规矩’。我们手里，有三张王牌，可以约束求解路径和最终结果。”
他懒洋洋地笑了笑，脸上却充满了少年人的自信，像一个即将展示最终底牌的魔术师，拿起另一支红色的马克笔，在箭头的上下两侧，画下了两条至关重要的约束路径。
“第一张牌，是因果律约束。
“自能的实部和虚部，不是互相独立的变量。它们被克拉默-克若尼关系（Kramers–Kronig relations，K-K关系）死死地锁在一起，这意味着，只要我们知道了其中一个，另一个的形态就已经被物理规律唯一确定。
“加入这一条约束，差不多直接砍掉了一半的解空间，大幅提高了数值解的稳定性。”
陈正平的瞳孔猛地一缩。
K-K关系！
对啊！
这个最底层的因果律约束，自己怎么就没想到！
他下意识拿起笔，在笔记本上画了一个复平面上的积分回路，想记下点什么灵感，笔尖却悬在纸上，一个字也写不出来。
妈的，还是没思路。
还没等他回过神，林允宁又画下了第二条路径。
“第二，物理先验约束。
“我们知道这个过程耗散必须非负，也就是Im(Σ)不能为正；而且，自能函数在高频和低频极限下的行为，也必须符合已知的物理规律，比如德拜模型和声学求和规则。这些都是我们已知的‘先验知识’。
“有了这些额外的边界信息和约束条件，我们就能将求解的范围，从一片汪洋大海，缩小到一个小小的池塘里。”
话音落下，整个办公室安静得只剩下中央空调的出风声。
韩至渊手中那支万宝龙钢笔的笔帽，不知何时已经停止了在桌面上的轻敲。
“等等！”
孙婧终于找到了插话的机会，她的问题更尖锐，也更实际。
她敲了敲桌上的光谱图，一针见血：
“就算有这两条约束，仪器响应函数（IRF）的影响你怎么消除？
“我们测到的光谱，是真实信号和IRF卷积后的结果。直接反演，等于对一个带噪声的卷积方程求解，只会把噪声无限放大，得到一堆没有物理意义的伪峰！”
这，才是实验物理学家在无数个不眠之夜中，真正会面对的噩梦。
听到这个问题。
林允宁非但没有紧张，手中的马克笔反而轻松地在指尖转了一圈，然后在白板上画上了第三张，也是最关键的一张王牌。
“孙师姐，我们为什么要执着于反卷积呢？跟仪器死磕，那肯定是条死胡同。”
他看向孙婧，露出了一个迷死人不偿命的笑容，“我们不去消除误差，我们理解误差。
“第三张王牌，就是正向拟合。
“我们用求解到的谱函数，去和我们已知的IRF做卷积，然后用这个卷积后的理论结果，去拟合我们测到的、最原始的、失真的实验数据。
“这样，我们拟合的，不再是信号，而是‘信号通过这台有缺陷的仪器后，应该是什么样子’。”
他摊了摊手，一脸的理所当然。
这番话，如同平地惊雷，让孙婧彻底呆住了。
她感觉自己多年建立起来的实验物理三观，正在被对方这种天马行空的逻辑剧烈地冲击着。
在她身边，陈正平的眼睛却猛地亮了起来，呼吸都变得有些急促。
他死死盯着白板，只见上面没有一个长公式，只有三条逻辑闭环的箭头。
如同三枚精准的图钉，将那个原本飘忽不定的反演问题，死死地钉在了一个极小的的解空间里！
他终于明白了林允宁想做什么！
“你的意思是……用一套带物理约束的迭代算法，直接从我们测到的，包含了所有仪器误差和噪声的光谱里，把最底层的‘声子自能’给硬生生构造出来？！”
“不是‘构造’，”
林允宁放下笔，纠正道，“自能函数作为物理实在，它本来就在那儿，不会因为我们算不出来，它就不存在。
“所以，问题不是‘构造’，而是用‘反演’来‘观测’——用一种更聪明的办法，透过噪声的迷雾，直接看到它。”
他的目光，最后落在韩至渊身上，进行了最后的总结。
“想要得到同时描述‘线宽’和‘频移’的自能函数，常规方法是正向推导，从原因到结果。现在咱们反过来，给他来个‘定果求因’——直接把声子自能Σ这个‘黑箱’的盖子掀开，把它抓在手上。
“到那时候，我们就可以用这个统一的理论框架，来讨论它里面到底藏着非谐效应、缺陷散射还是电声子耦合。那才是在用同一种语言说话。”
话音落下，他打了个哈欠，长长吐出一口浊气。
好像说了这么长的一段话，让他有些精疲力尽似的。
屋里安静了几秒，只有窗外传来几声模糊的鸟鸣。
“物理图像……很完美，不过算法呢？”
这次，轮到了韩至渊发问。
他一针见血地指出了从图像到现实的最后一道障碍，“想要解决这个问题，要有合适的算法和工具。
“但据我所知，现有的软件包，都解不了你这个带复杂物理约束的反演问题。这个世界上，还没有人写过这样的‘反演翻译器’……”
“那就从我们这里开始写！”
林允宁的回答云淡风轻，仿佛在说一件微不足道的小事，“求解器用用投影梯度算法（POCS），保证每次迭代都在‘因果一致’这个圈里，外层套一个带界约束的拟牛顿法（L-BFGS-B）处理非负约束。
“至于Σ本身，我们也不需要知道它的精确解析式，更不需要用复杂的函数去猜。我们可以用非负样条函数或者有理函数来参数化，把求解一个无限维的函数问题，简化成求解几十个参数的优化问题。这样可以最大限度地减少数值病态。”
他看了一眼已经彻底呆滞的陈正平和孙婧，干脆直接又扔下一颗“重磅炸弹”：
“我已经用Python写了个原型，在您借我那台X40笔记本电脑上试过了。用这种方法，即使是老奔腾处理器，也能在半个小时以内收敛。”
“你……你说啥？”
……
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