办公室里一片寂静。
只有墙上的挂钟在咔哒咔哒的走字。
陈拙看着那道题。
他接过钢笔。
那种熟悉的，冰冷的，金属质感从指尖神经涌上了大脑中枢。
他并没有马上动笔。
他在脑子里拆解这道题。
素数 p。
指数 p-2。
整除。
这几个关键词组合在一起，瞬间唤醒了他脑海深处的一个定理。
费马小定理。
a^(p-1)≡ 1 (mod p)（当a不是p的倍数时）。
这是数论的基石之一。
陈拙推了推眼镜。
这道题。
对于初中生来说，确实是超纲的，甚至是变态的。
甚至对于高中竞赛来说都算不上是简单。
因为它需要你不仅知道费马小定理，还要懂得如何灵活地运用逆元。
但在陈拙眼里。
这其实是一道非常有意思的题。
2^(p-2)是什么？
根据费马小定理，2^(p-1)≡1(mod p)。
所以，2^(p-2)≡2^(-1)(mod p)。
也就是2在模p下的逆元。
同理，3^(p-2)是3的逆元。
6^(p-2)是6的逆元。
那么题目就变成了证明：
2^(-1)+3^(-1)+6^(-1)-1≡0(mod p)。
这太简单了。
陈拙甚至想笑。
1/2+1/3+1/6=3/6+2/6+1/6=6/6=1
1-1=0
证毕。
这就是数学的美。
看似复杂的指数运算，在数论的透镜下，还原成了最简单的小学分数加减法。
大道至简。
陈拙拨开笔帽。
他没有用草稿纸。
他直接在卷子的空白处，开始书写。
不需要画图，不需要假设空气阻力。
只需要几行干净利落的同余式。
∵p is prime，p＞3
∴（2，p）=1，（3，p）=1，(6，p)=1
By Fermat's Little Theorem:
2^(p-1)≡1(mod p)⇒2^(p-2)·2≡1(mod p)
......
陈拙写的很快。
钢笔在纸上划出沙沙的声音。
不到两分钟。
陈拙停笔了。
最后一行。
∴ Original Expression≡1-1≡0(mod p)
Q.E.D.
陈拙把笔帽盖上，把卷子推给老赵。
“好了。”
老赵一直没说话，一直盯着陈拙的手。
从陈拙写下第一个同余符号“≡”开始，老赵的瞳孔就放大了。
他知道，这把稳了。
这孩子不仅会做，而且用的还是最标准，最优雅的数论语言。
他没有用笨办法去展开二项式，而是直接切中了问题的本质。
逆元。
老赵拿起卷子。
看着那几行漂亮的算式。
那种逻辑的流畅感，那种数字的优美感，简直完美。
“好！”
老赵重重地拍了一下桌子，震得茶杯盖都跳了一下。
“好一个费马小定理！”
“好一个逆元！”
老赵看着陈拙，眼神里的狂热感觉都快要将陈拙淹没。
“我就知道。”
“我就知道你小子的脑子，天生就是为了数学长的。”
“老周那个破教物理的，懂个屁的这种美感。”
老赵站起身，从裤腰带上解下一大串钥匙，在那儿哗啦哗啦的找了半天。
最后找出了一把有点生锈的，黄铜色的钥匙。
把钥匙放在了陈拙面前。
“拿着。”
陈拙看着那把钥匙。（这个学校的老师好喜欢给钥匙。）
“这是？”
“顶楼，档案室的钥匙。”
老赵的声音里带着一股子豪气。
“那里头，存着从85年到现在，所有的全国高中数学联赛的卷子和不少的国家集训队资料。”
“那些集训队的讲义，都是我当年舔着脸，从我那个在省数学会当会长的大学同学那儿，一箱一箱的扛回来的。”
“有些资料，市面上早就绝版了。”
“学校规定，那是保密室，只有教研组长才能进。”
老赵压低了声音，像是在交代什么机密。
“你想什么时候去就什么时候去，想看什么就什么。”
“除了别把那里面点着了，剩下的随你折腾。”
老赵顿了顿，接着说。
“还有。”
“明年的全国初中数学竞赛我已经给你报名了。”
“从今天起，你也是校数学集训队的主力了。”
“以后周一周三晚上，数学集训，周二周四下午，随你去老周那儿鬼混。”
“至于其他的课......”
老赵大手一挥。
“只要你期中期末考的大差不差，我不光批你的假，谁敢有意见，让他来找我！”
双重特权。
双核驱动。
陈拙伸手，握住了那把黄铜钥匙。
凉凉的，有点沉。
“谢谢赵老师。”
陈拙站起身，对着老赵鞠了一躬。
真实不虚。
在这个年代，能遇到这样两个为了自己而打破常规，甚至互相争抢的老师。
是他的幸运。
陈拙走出办公室。
左边裤兜揣着物理实验室的钥匙，右边裤兜里揣着数学档案室的钥匙。
走路都带风。
刚转过楼角，迎面就碰上了一个人。
老周。
老周夹着课本，正准备去初二上课。
看到陈拙从年级组办公室出来，又看到老赵正站在门口一脸神清气爽的目送着陈拙。
老周是什么人？
那是人精。
他那双眯缝眼一转，立马就明白了发生了什么。
老周停下脚步，挡在陈拙面前。
“老赵找你了？”
老周的声音有点酸，像是喝了半斤老陈醋。
陈拙停下，点了点头。
“嗯。”
“那老狐狸给你灌什么迷魂汤了？”
老周瞥了一眼陈拙鼓鼓囊囊的右边裤兜。
“他说，物理是肉，数学是骨头。”
陈拙实话实说。
“没有骨头，肉就是烂泥。”
“嘿！”
老周气乐了。
“这老东西，嘴还是这么损。”
老周把胳膊底下的书换了只手夹着，一脸的不屑。
“骨头？”
“光有骨头没有肉，那是个啥？”
“那是骷髅！那是标本！那是死的！”
“物理才是活的！是有血有肉，能跑能跳的！”
老周伸出手指，点了点陈拙的胸口。
“小子，你可别被他忽悠瘸了。”
“数学那是工具，是锤子，是扳手。咱们学物理的，是用工具造机器的人，你见过哪个工匠对着着锤子磕头的？”
陈拙看着老周那副气急败坏又带着点护犊子的样子，忍不住想笑。
但他忍住了。
他作为一个堂堂的成熟的成年人，对于这种事情那可是颇有心得。
“老师。”
陈拙推了推眼镜，语气诚恳。
“我觉得赵老师说的也有道理。”
“嗯？”
老周眉毛一竖。
“锤子要是不好，机器也造不精细。”
陈拙拍了拍右边的裤兜，那是数学钥匙的位置。
“我想先把锤子磨快点，再去造您的机器。”
老周愣了一秒。
他盯着陈拙看了几秒。
然后，他笑了。
笑得脸上的皱纹都舒展开了。
“行啊你个小兔崽子。”
老周笑骂了一句，伸手在陈拙脑袋上呼了一把。
“两头通吃是吧？左右逢源是吧？”
“行，有志气。”
“只要你不嫌累，你就两边跑吧。”
老周摆了摆手，侧过身让开了路。
“滚蛋滚蛋，别耽误老子上课。”
陈拙点了点头，迈着轻快的步子走了。
老周站在原地，看着陈拙的背影，又看了一眼不远处正站在办公室门口对着他冷笑的老赵。
两个加起来快一百岁的老头，隔着十几米的走廊，互相瞪了一眼。
“老东西。”
“老不死的。”
两人几乎同时骂了一句。
然后。
各自转身，各自得意。
走廊外的阳光正好。
知了还在叫。
只有墙上的挂钟在咔哒咔哒的走字。
陈拙看着那道题。
他接过钢笔。
那种熟悉的，冰冷的，金属质感从指尖神经涌上了大脑中枢。
他并没有马上动笔。
他在脑子里拆解这道题。
素数 p。
指数 p-2。
整除。
这几个关键词组合在一起，瞬间唤醒了他脑海深处的一个定理。
费马小定理。
a^(p-1)≡ 1 (mod p)（当a不是p的倍数时）。
这是数论的基石之一。
陈拙推了推眼镜。
这道题。
对于初中生来说，确实是超纲的，甚至是变态的。
甚至对于高中竞赛来说都算不上是简单。
因为它需要你不仅知道费马小定理，还要懂得如何灵活地运用逆元。
但在陈拙眼里。
这其实是一道非常有意思的题。
2^(p-2)是什么？
根据费马小定理，2^(p-1)≡1(mod p)。
所以，2^(p-2)≡2^(-1)(mod p)。
也就是2在模p下的逆元。
同理，3^(p-2)是3的逆元。
6^(p-2)是6的逆元。
那么题目就变成了证明：
2^(-1)+3^(-1)+6^(-1)-1≡0(mod p)。
这太简单了。
陈拙甚至想笑。
1/2+1/3+1/6=3/6+2/6+1/6=6/6=1
1-1=0
证毕。
这就是数学的美。
看似复杂的指数运算，在数论的透镜下，还原成了最简单的小学分数加减法。
大道至简。
陈拙拨开笔帽。
他没有用草稿纸。
他直接在卷子的空白处，开始书写。
不需要画图，不需要假设空气阻力。
只需要几行干净利落的同余式。
∵p is prime，p＞3
∴（2，p）=1，（3，p）=1，(6，p)=1
By Fermat's Little Theorem:
2^(p-1)≡1(mod p)⇒2^(p-2)·2≡1(mod p)
......
陈拙写的很快。
钢笔在纸上划出沙沙的声音。
不到两分钟。
陈拙停笔了。
最后一行。
∴ Original Expression≡1-1≡0(mod p)
Q.E.D.
陈拙把笔帽盖上，把卷子推给老赵。
“好了。”
老赵一直没说话，一直盯着陈拙的手。
从陈拙写下第一个同余符号“≡”开始，老赵的瞳孔就放大了。
他知道，这把稳了。
这孩子不仅会做，而且用的还是最标准，最优雅的数论语言。
他没有用笨办法去展开二项式，而是直接切中了问题的本质。
逆元。
老赵拿起卷子。
看着那几行漂亮的算式。
那种逻辑的流畅感，那种数字的优美感，简直完美。
“好！”
老赵重重地拍了一下桌子，震得茶杯盖都跳了一下。
“好一个费马小定理！”
“好一个逆元！”
老赵看着陈拙，眼神里的狂热感觉都快要将陈拙淹没。
“我就知道。”
“我就知道你小子的脑子，天生就是为了数学长的。”
“老周那个破教物理的，懂个屁的这种美感。”
老赵站起身，从裤腰带上解下一大串钥匙，在那儿哗啦哗啦的找了半天。
最后找出了一把有点生锈的，黄铜色的钥匙。
把钥匙放在了陈拙面前。
“拿着。”
陈拙看着那把钥匙。（这个学校的老师好喜欢给钥匙。）
“这是？”
“顶楼，档案室的钥匙。”
老赵的声音里带着一股子豪气。
“那里头，存着从85年到现在，所有的全国高中数学联赛的卷子和不少的国家集训队资料。”
“那些集训队的讲义，都是我当年舔着脸，从我那个在省数学会当会长的大学同学那儿，一箱一箱的扛回来的。”
“有些资料，市面上早就绝版了。”
“学校规定，那是保密室，只有教研组长才能进。”
老赵压低了声音，像是在交代什么机密。
“你想什么时候去就什么时候去，想看什么就什么。”
“除了别把那里面点着了，剩下的随你折腾。”
老赵顿了顿，接着说。
“还有。”
“明年的全国初中数学竞赛我已经给你报名了。”
“从今天起，你也是校数学集训队的主力了。”
“以后周一周三晚上，数学集训，周二周四下午，随你去老周那儿鬼混。”
“至于其他的课......”
老赵大手一挥。
“只要你期中期末考的大差不差，我不光批你的假，谁敢有意见，让他来找我！”
双重特权。
双核驱动。
陈拙伸手，握住了那把黄铜钥匙。
凉凉的，有点沉。
“谢谢赵老师。”
陈拙站起身，对着老赵鞠了一躬。
真实不虚。
在这个年代，能遇到这样两个为了自己而打破常规，甚至互相争抢的老师。
是他的幸运。
陈拙走出办公室。
左边裤兜揣着物理实验室的钥匙，右边裤兜里揣着数学档案室的钥匙。
走路都带风。
刚转过楼角，迎面就碰上了一个人。
老周。
老周夹着课本，正准备去初二上课。
看到陈拙从年级组办公室出来，又看到老赵正站在门口一脸神清气爽的目送着陈拙。
老周是什么人？
那是人精。
他那双眯缝眼一转，立马就明白了发生了什么。
老周停下脚步，挡在陈拙面前。
“老赵找你了？”
老周的声音有点酸，像是喝了半斤老陈醋。
陈拙停下，点了点头。
“嗯。”
“那老狐狸给你灌什么迷魂汤了？”
老周瞥了一眼陈拙鼓鼓囊囊的右边裤兜。
“他说，物理是肉，数学是骨头。”
陈拙实话实说。
“没有骨头，肉就是烂泥。”
“嘿！”
老周气乐了。
“这老东西，嘴还是这么损。”
老周把胳膊底下的书换了只手夹着，一脸的不屑。
“骨头？”
“光有骨头没有肉，那是个啥？”
“那是骷髅！那是标本！那是死的！”
“物理才是活的！是有血有肉，能跑能跳的！”
老周伸出手指，点了点陈拙的胸口。
“小子，你可别被他忽悠瘸了。”
“数学那是工具，是锤子，是扳手。咱们学物理的，是用工具造机器的人，你见过哪个工匠对着着锤子磕头的？”
陈拙看着老周那副气急败坏又带着点护犊子的样子，忍不住想笑。
但他忍住了。
他作为一个堂堂的成熟的成年人，对于这种事情那可是颇有心得。
“老师。”
陈拙推了推眼镜，语气诚恳。
“我觉得赵老师说的也有道理。”
“嗯？”
老周眉毛一竖。
“锤子要是不好，机器也造不精细。”
陈拙拍了拍右边的裤兜，那是数学钥匙的位置。
“我想先把锤子磨快点，再去造您的机器。”
老周愣了一秒。
他盯着陈拙看了几秒。
然后，他笑了。
笑得脸上的皱纹都舒展开了。
“行啊你个小兔崽子。”
老周笑骂了一句，伸手在陈拙脑袋上呼了一把。
“两头通吃是吧？左右逢源是吧？”
“行，有志气。”
“只要你不嫌累，你就两边跑吧。”
老周摆了摆手，侧过身让开了路。
“滚蛋滚蛋，别耽误老子上课。”
陈拙点了点头，迈着轻快的步子走了。
老周站在原地，看着陈拙的背影，又看了一眼不远处正站在办公室门口对着他冷笑的老赵。
两个加起来快一百岁的老头，隔着十几米的走廊，互相瞪了一眼。
“老东西。”
“老不死的。”
两人几乎同时骂了一句。
然后。
各自转身，各自得意。
走廊外的阳光正好。
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